CSP-S 2026 提高级模拟赛（育才中学信息学集训队）试题解析与题解
对应题面合集：
CSP-S-模拟赛题面合集.md；标程见各题src/*.cpp。 说明：本套每点均分（无捆绑子任务扣分）；下表“分档/子任务”为该题原题的子任务设计，仅供学习分层做法参考。满分做法均可直接 AC 本套全部数据。
〇、总体难度与考试策略
| 题号 | 题目（目录） | 难度（参考） | 核心考察点 | 建议耗时 |
|---|---|---|---|---|
| 一 | 染色积木（color） | ★☆☆☆☆ 入门（黄） | 计数、分类讨论、模拟转公式 | 10 min |
| 二 | 棋子摆放（piece） | ★★☆☆☆ 普及~提高-（绿） | 排序去重、阶梯结构、计数 DP | 30 min |
| 三 | 不平衡划分（balance） | ★★☆☆☆ 提高-（绿） | 前缀和、贪心/结论、极值枚举 | 30 min |
| 四 | 召唤小鸟（bird） | ★★★☆☆ 提高（蓝/CF 2100） | 背包 DP、状态设计、64 位边界 | 40 min |
| 五 | 暗号计数（binaria） | ★★★★☆ 提高+/省选-（青/蓝） | 差分约束建模、并查集/类链、组合数取模 | 50 min |
建议顺序：一 → 三 → 二 → 四 → 五。一、三尽量拿满，二若排序+DP 思路受阻先写“枚举棋盘子集/枚举行带子集”的部分分，四、五最后攻坚，注意防爆栈、防溢出。
题目一 染色积木（color）
难度与考察点
- 难度：★☆☆☆☆（黄，签到题）。
- 考察点：单位立方体涂色面数计数；按“厚度”分类讨论；$O(1)$ 公式；64 位整数。
题意
$a\times b\times c$ 长方体先整体刷外表面再切成单位小方块，求恰有 $k$ 个面被涂的小方块数。$a,b,c\le10^5$，$k\in[0,6]$。
满分题解（$O(1)$）
把三个边长降序排序 $x\ge y\ge z$。一个单位小方块在某条长度 $L$ 的轴上，只有位于两端（坐标为 $1$ 或 $L$）时该方向才有面被涂，贡献为 $[i=1]+[i=L]$（$L=1$ 时贡献 $2$）。因此只需按“厚度”分四类统计：
- 真三维 $z\ge2$：
- $k=3$：$8$（角块）；
- $k=2$：$4\big((x-2)+(y-2)+(z-2)\big)=4(x+y+z-6)$（棱上非角块）；
- $k=1$：$2\big[(x-2)(y-2)+(x-2)(z-2)+(y-2)(z-2)\big]$（面内非棱块）；
- $k=0$：$(x-2)(y-2)(z-2)$（内部块）；其余 $k$ 为 $0$。
- 平板 $z=1,y\ge2$（厚度 1 方向两面必涂，故没有 0 面块）：
- $k=4$：$4$；$k=3$：$2[(x-2)+(y-2)]$；$k=2$：$(x-2)(y-2)$；$k=0,1,5,6$：$0$。
- 长条 $z=1,y=1,x\ge2$：$k=5$：$2$；$k=4$：$x-2$；其余为 $0$。
- 单块 $1\times1\times1$：$k=6$：$1$；其余 $0$。
复杂度 $O(1)$，空间 $O(1)$。
分档（原题 20 点均分，无子任务）
- 可直接按题意暴力：$O(a\cdot b\cdot c)$ 逐格统计涂色面数，能过 $a,b,c\le 10^2$ 的小数据（保底分）；
- 满分即上表公式。注意“平板 $k=0$ 输出 0”是最易写错的分支（厚度 1 的两面必涂）。
易错点
- 答案可达 $\approx(10^5-2)^3\approx10^{15}$，必须
long long； - 排序后再分类，避免漏掉“某一维为 1/2”的形状；
- $k=6$ 只有 $1\times1\times1$ 时才有答案。
题目二 棋子摆放（piece）
难度与考察点
- 难度：★★☆☆☆（绿）。
- 考察点：约束支配关系与排序去重；阶梯（单调）结构；组合计数 + 线性 DP；快速幂取模。
题意
$m\times m$ 棋盘（$m\le10^9$），每格至多放 1 颗棋子；$n$（$\le2\times10^5$）条规则 $(r_i,c_i)$ 表示矩形 $[1..r_i]\times[1..c_i]$ 内至多 1 颗。求方案数 $\bmod10^9+7$。
满分题解（$O(n\log n)$）
Step 1 去支配，得到阶梯骨架。 若 $(r_1,c_1)\le(r_2,c_2)$（两坐标都不超过），矩形 $R_1\subseteq R_2$，$R_1$ 可删。实现：按 $r$ 降序扫描，保留 $c$ 严格递增的那些，再反转成
$r_1c_2>\dots>c_t$（代码中的 rule[]）。
Step 2 覆盖格与自由格。 被覆盖格 = 落在某个规则矩形内的格，恰为 $t$ 条“行带”： 第 $i$ 带 = 行 $(r_{i-1},r_i]$（$r_0=0$）× 列 $[1,c_i]$。覆盖面积 $\sum_i(r_i-r_{i-1})c_i$。自由格（其余 $m^2-$ 覆盖面积 个）上的棋子不进任何规则矩形，独立放/不放 → 因子 $2^{free}$。
Step 3 覆盖区内结构（关键引理）。 - 同一行带至多放 1 颗（否则两块同落在矩形 $R_i$ 内）； - 两块分处行带 $i
Step 4 计数（链求和 + 前缀和 DP）。 一个行带组合贡献 $L_{i_1}\cdots L_{i_u}\cdot(c_{i_1}-c_{i_2})\cdots(c_{i_u}-0)$，$L_i=r_i-r_{i-1}$。对所有子集求和；用标程的前缀和递推 $O(t)$：
$$ dp[0]=1,\quad sum[i]=sum[i-1]+dp[i](r_{i+1}-r_i),\quad dp[i]=dp[i-1]+sum[i-1](c_i-c_{i+1}), $$
（哨兵 $r_{t+1}=m,\ c_{t+1}=0$），答案 $=dp[t]\cdot 2^{free}\bmod(10^9+7)$（$2^{free}$ 用快速幂，指数 $\le10^{18}$）。
复杂度 $O(n\log n)$，空间 $O(n)$。
分子任务题解（原题）
| 子任务 | 限制 | 分档做法 |
|---|---|---|
| 1（3 分） | $n\le10,m\le4$ | 棋盘 $\le16$ 格，直接枚举 $2^{m^2}$ 种放法逐条规则校验。 |
| 2（6 分） | $n=1,m\le1000$ | 单规则 $(r,c)$：矩形 $r\cdot c$ 格内至多 1 颗 → $r\cdot c+1$ 种；外部 $2^{m^2-r\cdot c}$ → 快速幂乘出。 |
| 3–4（8+8 分） | $n\le10/15$，$m$ 到 $10^9$ | 去重后行带数 $t\le15$：枚举行带子集，用上列“链权值公式”$O(t\cdot2^t)$ 直接求和。 |
| 5–8（10×4） | $n\le2500,m\le10^5$ | 即用满分“阶梯 + 前缀和 DP”，此时 $t\le n$ 扫一遍即可（$m$ 小也可退化为按行列 DP）。 |
| 9–10（15+20） | $n\le2\times10^5$ | 满分做法；注意 $m^2$ 用 long long、排序去重后 $t\le n$。 |
易错点
- $m^2\le10^{18}$ 与 $free$ 都要 64 位；DP 与快速幂全程取模；
- 两个哨兵
rule[0]={0,m}、rule[t+1]={m,0}是转移边界，勿漏； - 完全相同的规则可重复出现，去重已自然处理。
题目三 不平衡划分（balance）
难度与考察点
- 难度：★★☆☆☆（绿，但“结论型”，难在想到三类枚举）。
- 考察点：前缀和、前后缀最小值、贪心/最优结构、$O(n)$ 枚举。
题意
把非负数组分成恰好 $k\ (\ge2)$ 段连续非空段，最大化（最大段和 − 最小段和）。$n\le3\times10^5$。
满分题解（$O(n)$）
记 $S_i=\sum_{j\le i}a_j$，$\text{lmi}_i=\min_{j\le i}a_j$，$\text{rmi}_i=\min_{j\ge i}a_j$，$len=n-k+1$。
关键结论：最优解中“最大段”只需考虑三种形态——长度为 $len$ 的中间段、长度 $
- 中间段 $[l, r=l+len-1]$：候选 $=S_r-S_{l-1}-\min(\text{lmi}_{l-1},\text{rmi}_{r+1})$；
- 前缀最大段 $[1..l]\ (l
- 后缀最大段 $[l..n]\ (n-l
三者取最大即答案。$k=2$ 时上面第三类退化（$k=2$ 只能前/后缀一刀切），可由 $\max_i|S_n-2S_i|$ 化简为 $O(1)$ 端点公式 $Ans=\max(S_{n-1}-a_n,\ S_n-2a_1)$（前缀和单调 ⇒ 极值只可能在 $i=1$ 或 $i=n-1$ 取到）。
复杂度 $O(n)$，空间 $O(n)$。
分子任务题解（原题）
| 子任务 | 限制 | 分档做法 | ||
|---|---|---|---|---|
| 样例（0 分） | — | 与题面样例一致。 | ||
| 1（11 分） | $n\le15$ | 枚举所有 $k-1$ 个切点的组合 $\binom{n-1}{k-1}$，逐个算最大/最小段和取 max，$O(\binom{n-1}{k-1}\cdot n)$。 | ||
| 2（11 分） | $k=2$ | $O(n)$ 扫一遍 $\max_i | S_n-2S_i | $（或 $O(1)$ 端点公式）。 |
| 3（21 分） | $k=3$ | 满分“三类枚举”$O(n)$ 可直接解决 $k=3$；也可先枚举“中间段” $O(n)$（配合前后缀 min）或 $O(n^2)$ 保底。 | ||
| 4（15 分） | $n\le300$ | 朴素 $O(n\cdot len)\le O(n^2)$：枚举每个候选最大段 $[l..r]$，段外最小用 $\text{lmi}/\text{rmi}$ 求。 | ||
| 5（21 分） | $n\le3000$ | 同 $O(n^2)\approx9\times10^6$ 可过，或直接满分 $O(n)$。 | ||
| 6（21 分） | 无限制 | 满分 $O(n)$ 三类枚举。 |
易错点
- $\text{lmi}_0=\text{rmi}_{n+1}=\infty$（否则段外“最小”会取到 0 造成错误）；
- 三类枚举的循环边界：前缀段 $ln-len$、中间段 $l+len-1\le n$；
- $k=2$ 特判要独立写，避免走通用分支被“中间段”假象误导；
- 前缀和上限约 $3\times10^{14}$，务必
long long。
题目四 召唤小鸟（bird）
难度与考察点
- 难度：★★★☆☆（提高；CF 922E，约 2100）。
- 考察点：背包 DP；状态的“最大化剩余魔力”设计；上限增长 $W+jB$ 的处理；64 位与内存边界。
题意
$n\le10^3$ 棵树依次经过；初始魔力 $W$、上限 $W$；第 $i$ 棵树可召唤 $0..c_i$ 只，每只花费 $cost_i$，召唤后上限 $+B$；走到下一棵树回 $X$ 魔力且不超过上限。求最多召唤数（$\sum c_i\le10^4$）。
满分题解（背包 DP）
$j$ 只召唤后上限必为 $W+j\cdot B$，与顺序无关。设 $dp[i][j]=$ 考虑前 $i$ 棵树、共召唤 $j$ 只后剩余魔力的最大值（不可行记 $-1$）。剩余越多越优（只影响后续购买力）。
转移：第 $i$ 棵树召唤 $k\ (0\le k\le\min(c_i,j))$ 只，需 $dp[i-1][j-k]\ge k\cdot cost_i$：
$$ dp[i][j]=\max_{k}\Big(dp[i][j],\ \min\big(dp[i-1][j-k]-k\cdot cost_i+X,\ W+j\cdot B\big)\Big). $$
答案 = 最大的 $j$ 使 $dp[n][j]\ne-1$。
复杂度：设 $C=\sum c_i\le10^4$，总转移约 $O\big(C(C+n)\big)\le1.1\times10^8$ 轻量运算，2 s 内可过；空间 $dp[1010][10010]$（long long，约 81 MB，512 MB 内）。
分子任务题解（原题按测试点分档）
| 档位 | 限制 | 分档做法 |
|---|---|---|
| 测试点 1–2 | $n\le20$ | 递归/DFS 枚举每棵树召唤只数（可行性剪枝），小规模可过；也可直接跑满分 DP。 |
| 测试点 3–4 | $W,B,X,cost_i\le10^4$ | 数值小，直接实现满分 DP 即可（无需担心 $10^{13}$ 溢出），或按“钱不多”的状态压缩枚举。 |
| 测试点 5–10 | $n\le10^3$，$8000\le\sum c_i\le10^4$，$cost_i\le10^9$ | 满分背包 DP；此档考验 64 位处理：$k\cdot cost_i$ 与 $W+jB$ 均可达 $10^{13}$。 |
易错点
- $w+j\cdot b$、$k\cdot cost_i$ 用
long long； - 上限截断写
min(..., w+j*b)（$B=0$ 上限不增、$X=0$ 不恢复）； memset(dp,-1,…)后只从可行状态转移；答案倒序找第一个非 $-1$ 的 $j$。
题目五 暗号计数（binaria）
难度与考察点
- 难度：★★★★☆（提高+/省选-；图论建模思维题）。
- 考察点：相邻窗口差分建模；并查集（或同余类链）合并等值约束；矛盾检测；组合数 $C(x,y)\bmod P$（质数 $10^6+3$）；迭代 DFS 防爆栈。
题意
给定 $n,k$ 与全部 $n-k+1$ 个窗口和 $s_i=\sum_{j=i}^{i+k-1}b_j$，求满足条件的 01 串 $b_1..b_n$ 数量 $\bmod10^6+3$。$n\le10^6$，数据保证有解。
满分题解（$O(n+k)$）
Step 1 差分定关系。 $$ s_{i+1}=s_i-b_i+b_{i+k}\ \Longrightarrow\ b_{i+k}-b_i=s_{i+1}-s_i=:d_i . $$ $d_i=0$ ⇒ $b_i=b_{i+k}$（**等值**）；$d_i=1$ ⇒ $b_i=0,b_{i+k}=1$；$d_i=-1$ ⇒ $b_i=1,b_{i+k}=0$（定值）。
Step 2 并查集/类链。 等值位置并成一个分量（标程用邻接表 + 显式栈迭代 DFS 打连通块标记）。若分量中任一位置被“定值”，整块值确定；块内出现 0/1 冲突则无解（本题数据保证不出现）。
Step 3 统计自由变量。 沿“每步 $-k$”回溯可知每个分量都含一个 $\le k$ 的位置，故自由变量数 = 前 $k$ 位中未被定值的个数 $x$；前 $k$ 位中已定为 1 的有 $p$ 个，则还需 $y=s_1-p$ 个 1，答案 $=\binom{x}{y}\bmod P$（其余位置由差分唯一推出且自动满足所有窗口和）。
Step 4 组合数取模。 $P=10^6+3$ 为质数且 $>n$，预处理 $0..k$ 阶乘与逆元后 $O(1)$ 求 $\binom{x}{y}$。
复杂度 $O(n+k)$，空间 $O(n)$。
分子任务题解（原题）
| 子任务 | 限制 | 分档做法 |
|---|---|---|
| 1（12 分） | $n\le10,k\le3$ | 暴力枚举 $2^n$ 个串逐一核对窗口和。 |
| 2（12 分） | $n\le10$ | 同上暴力即可（$2^{10}=1024$）。 |
| 3（16 分） | $n\le1000,k\le10$ | 枚举前 $k$ 位 $2^k\le1024$ 种赋值，用 $b_{i+k}=b_i+s_{i+1}-s_i$ 递推全串并校验，$O(n2^k)\approx10^6$。 |
| 4（16 分） | $n\le10^6,k\le20$ | $2^k$ 枚举过大：按模 $k$ 同余的“类链”独立做定值/矛盾传播（即满分做法去并查集的形式）$O(n)$；或直接用满分做法。 |
| 5（16 分） | $n\le10^6,k\le3000$ | 必须 $O(n)$：满分做法（并查集或类链扫描）。 |
| 6（28 分） | 无额外限制 | 满分 $O(n+k)$：差分建约束 → 迭代 DFS 求分量 → 定值传播 → $x,y$ → 组合数。 |
易错点
- 递归会爆栈：$k$ 较小时等值链可达 $O(n/k)$（$k=2$ 时约 $5\times10^5$ 层），标程改用显式栈迭代 DFS；
- 差分方向：$b_{i+k}-b_i=s_{i+1}-s_i$，赋值别写反；
- 若出现矛盾（块内 0/1 冲突、$y<0$ 或 $y>x$）答案为 $0$——本数据保证不出现，但实现上可留检测；
- 阶乘只预处理到 $k$（$x\le k$）；逆元用费马小定理；数组开 $10^6+5$。
附：与交付文件对照
- 每题的完整官方级题解（推导细节、复杂度、代码走查）见
color|piece|balance|bird|binaria/solutions/editorial.md； - 标程见
*/src/*.cpp（已通过全部 data/samples/extra 回归与暴力对拍）； - 大样例在
*/samples/extra1|extra2.in/.out。